EGA I. Le langage des schémas

  1. Introduction 5
  2. Chapitre 0. Préliminaires 11
    1. 1. Anneaux de fractions 11
      1. 1.0. Anneaux et algèbres 11
      2. 1.1. Racine d'un idéal. Nilradical et radical d'un anneau 12
      3. 1.2. Modules et anneaux de fractions 13
      4. 1.3. Propriétés fonctorielles 14
      5. 1.4. Changement de partie multiplicative 15
      6. 1.5. Changement d'anneau 17
      7. 1.6. Identification du module \(M_j\) à une limite inductive 19
      8. 1.7 Support d'un module 20
    2. 2. Espaces irréductibles. Espaces noethériens 21
      1. 2.1. Espaces irréductibles 21
      2. 2.2. Espaces noethériens 23
    3. 3. Compléments sur les faisceaux 23
      1. 3.1. Faisceaux à valeurs dans une catégorie 23
      2. 3.2. Préfaisceaux sur une base d'ouverts 25
      3. 3.3. Recollement de faisceaux 28
      4. 3.4. Images directes de préfaisceaux 29
      5. 3.5. Images réciproques de préfaisceaux 30
      6. 3.6. Faixceaux simples et faisceaux localement simples 33
      7. 3.7. Images réciproques de préfaisceaux de groupes ou d'anneaux 34
      8. 3.8. Faiscaux d'espaces pseudo-discrets 35
    4. 4. Espaces annelés 35
      1. 4.1. Espaces annelés, \(\mathscr{A}\)-Modules, \(\mathscr{A}\)-Algèbres 35
      2. 4.2. Image directe d'un \(\mathscr{A}\)-Module 39
      3. 4.3. Image réciproque d'un \(\mathscr{A}\)-Module 40
      4. 4.4. Relations entre images directes et images réciproques 42
    5. 5. Faisceaux quasi-cohérents et faisceaux cohérents 44
      1. 5.1. Faisceaux quasi-cohérents 44
      2. 5.2. Faisceaux de type fini 45
      3. 5.3. Faisceaux cohérents 47
      4. 5.4. Faisceaux localement libres 48
      5. 5.5. Faisceaux sur un espace annelé en anneaux locaux 53
    6. 6. Platitude 54
      1. 6.1. Modules plats 55
      2. 6.2. Changement d'anneaux 55
      3. 6.3. Localisation de la platitude 56
      4. 6.4. Modules fidèlement plats 57
      5. 6.5. Restriction des scalaires 58
      6. 6.6. Anneaux fidèlement plats 58
      7. 6.7. Morphismes plats d'espaces annelés 59
    7. 7. Anneaux adiques 60
      1. 7.1. Anneaux admissibles 60
      2. 7.2. Anneaux adiques et limites projectives 62
      3. 7.3. Anneaux préadiques noethériens 66
      4. 7.4. Modules quasi-finis sur les anneaux locaux 68
      5. 7.5. Anneaux de séries formelles restreintes 69
      6. 7.6. Anneaux complets de fractions 72
      7. 7.7. Produits tensoriels complétés 75
      8. 7.8. Topologies sur les modules d'homomorphismes 77
  3. Chapitre Premier. Le langage des schémas 79
    1. 1. Schémas affines 80
      1. 1.1. Le spectre premier d'un anneau 80
      2. 1.2. Propriétés fonctorielles des spectres premiers d'anneaux 83
      3. 1.3. Faisceau associé à un module 84
      4. 1.4. Faisceaux quasi-cohérents sur un spectre premier 90
      5. 1.5. Faisceaux cohérents sur un spectre premier 92
      6. 1.6. Propriétés fonctorielles des faisceaux quasi-cohérents sur un spectre premier 93
      7. 1.7. Caractérisation des morphismes de schémas affines 96
    2. 2. Préschémas et morphismes de préschémas 97
      1. 2.1. Définition des préschémas 97
      2. 2.2. Morphismes de préschémas 98
      3. 2.3. Recollement de préschémas 101
      4. 2.4. Schémas locaux 101
      5. 2.5. Préschémas au-dessus d'un préschéma 103
    3. 3. Produit de préschémas 104
      1. 3.1. Somme de préschémas 104
      2. 3.2. Produit de préschémas 104
      3. 3.3. Propriétés formelles du produit; changement de préschéma de base 108
      4. 3.4. Points d'un préschéma à valeurs dans un préschéma; points géométriques 111
      5. 3.5. Surjections et injections 114
      6. 3.6. Fibres 117
      7. 3.7. Application: réduction d'un préschema mod. \(\mathfrak{I}\) 118
    4. 4. Sous-préschémas et morphismes d'immersion 119
      1. 4.1. Sous-préschémas 119
      2. 4.2. Morphismes d'immersion 122
      3. 4.3. Produit d'immersions 124
      4. 4.4. Image réciproque d'un préschéma 125
      5. 4.5. Immersions locales et isomorphismes locaux 126
    5. 5. Préschémas reduits; condition de séparation 127
      1. 5.1. Préschémas reduits 127
      2. 5.2. Existence d'un sous-préschéma d'espace sous-jacent donné 131
      3. 5.3. Diagonale; graphe d'un morphisme 132
      4. 5.4. Morphismes et préschémas séparés 135
      5. 5.5. Critères de séparation 136
    6. 6. Conditions de finitude 140
      1. 6.1. Préschémas noethériens et localement noethériens 140
      2. 6.2. Préschémas artiniens 143
      3. 6.3. Morphismes de type fini 144
      4. 6.4. Préschémas algébriques 147
      5. 6.5. Détermination locale d'un morphisme 150
      6. 6.6. Morphismes quasi-compacts et morphismes localement de type fini 152
    7. 7. Applications rationelles 155
      1. 7.1. Applications rationnelles et fonctions rationnelles 155
      2. 7.2. Domaine de définition d'une application rationnelle 158
      3. 7.3. Fiasceau des fonctions rationnelles 161
      4. 7.4. Faisceaux de torision et faisceaux sans torsion 163
    8. 8. Les schémas de Chevalley 164
      1. 8.1. Anneaux locaux apparentés 164
      2. 8.2. Anneaux locaux d'un schéma intègre 165
      3. 8.3. Les schémas de Chevalley 168
    9. 9. Compléments sur les faisceaux quasi-cohérents 169
      1. 9.1. Produit tensoriel de faisceaux quasi-cohérents 169
      2. 9.2. Image directe d'un faisceau quasi-cohérents 171
      3. 9.3. Prolongement des sections de faisceaux quasi-cohérents 172
      4. 9.4. Prologement des faisceaux quasi-cohérents 174
      5. 9.5. Image fermée d'un préschéma; adhérence d'un sous-préschéma 176
      6. 9.6. Faisceaux quasi-cohérents d'algèbres; changement de faisceau structural 179
    10. 10. Schémas formels 179
      1. 10.1. Schémas formels affines 180
      2. 10.2. Morphismes de schémas formels affines 182
      3. 10.3. Idéaux de définition d'un schéma formel affine 183
      4. 10.4. Préschémas formels et morphismes de préschémas formels 185
      5. 10.5. Idéaux de définition des préschémas formels 186
      6. 10.6. Préschémas formels comme limites inductives de préschemas 188
      7. 10.7. Produit de préschémas formels 193
      8. 10.8. Complété formel d'un préschéma le long d'une partie fermée 194
      9. 10.9. Prolongement d'un morphisme aux complétés 198
      10. 10.10. Application aux faisceaux cohérents sur les schémas formels affines 201
      11. 10.11. Faisceaux cohérents sur les préschémas formels 204
      12. 10.12. Morphismes adiques de préschémas formels 206
      13. 10.13. Morphismes de type fini 207
      14. 10.14. Sous-préschémas fermés des préschémas formels 209
      15. 10.15. Préschémas formels séparés 212
  4. Bibliographie 215
  5. Index des notations 217
  6. Index terminologique 219

EGA II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes

  1. Chapitre II. Étude globale élementaire de qualques classes de morphismes 5
    1. 1. Morphismes affines 5
      1. 1.1. S-préschémas et \(\mathscr{O}_S\)-Algèbres 5
      2. 1.2. Préschémas affines sur un préschéma 6
      3. 1.3. Préschéma affine au-dessus de S associé à une \(\mathscr{O}_S\)-Algèbre 8
      4. 1.4. Faisceaux quasi-cohérents sur un préschéma affine au-dessus de S 9
      5. 1.5. Changement du préschéma de base 12
      6. 1.6. Morphismes affines 14
      7. 1.7. Fibré vectoriel associé à un faisceau de modules 14
    2. 2. Spectres premiers homogènes 19
      1. 2.1. Généralités sur les anneaux et modules gradués 19
      2. 2.2. Anneaux de fraction d'un anneau gradué 23
      3. 2.3. Spectre premier homogène d'un anneau gradué 25
      4. 2.4. La structure de schéma sur Proj(S) 28
      5. 2.5. Faisceau associé à un module gradué 30
      6. 2.6. S-module gradué associé à un faisceau sur Proj(S) 36
      7. 2.7. Conditions de finitude. 38
      8. 2.8. Comportements fonctoriels 41
      9. 2.9. Sous-préschémas fermés d'un schéma Proj(S) 48
    3. 3. Spectre homogène d'un faisceau d'algèbres graduées 49
      1. 3.1. Spctre homogène d'une \(\mathscr{O}_Y\)-Algèbre graduée quasi-cohérente 49
      2. 3.2. Faisceau sur Proj(\(\mathscr{S}\)) associé à un \(\mathscr{S}\)-Module gradué 54
      3. 3.3. \(\mathscr{S}\)-Module gradué associé à un faisceau sur Proj(\(\mathscr{S}\)) 56
      4. 3.4. Conditions de finitude 59
      5. 3.5. Comportemenets fonctoriels 61
      6. 3.6. Sous-préschémas fermés d'un préschéma Proj(\(\mathscr{S}\)) 64
      7. 3.7. Morphismes d'un préschéma dans un spectre homogène 65
      8. 3.8. Critères d'immersion dans un spectre homogène 69
    4. 4. Fibrés projectifs. Faisceaux amples 71
      1. 4.1. Définition des fibrés projectifs 71
      2. 4.2. Morphismes d'un préschéma dans un fibré projectif 72
      3. 4.3. Le morphisme de Segre 76
      4. 4.4. Immersions dan les fibrés projectifs. Faisceaux très amples 78
      5. 4.5. Faisceaux amples 83
      6. 4.6. Faisceaux relativement amples 89
    5. 5. Morphismes quasi-affines; morphismes quasi-projectifs; morphismes propres; morphismes projectifs 94
      1. 5.1. Morphismes quasi-affines 94
      2. 5.2. Le critère de Serre 97
      3. 5.3. Morphismes quasi-projectifs 99
      4. 5.4. Morphismes propres et morphismes universellement fermés 100
      5. 5.5. Morphismes projectifs 103
      6. 5.6. Le lemme de Chow 106
    6. 6. Morphismes entiers et morphismes finis 110
      1. 6.1. Préschémas entiers sur un autre 110
      2. 6.2. Morphismes quasi-finis 114
      3. 6.3. Fermeture intégrale d'un préschéma 116
      4. 6.4. Déterminant d'un endomorphisme de \(\mathscr{O}_X\)-Module 120
      5. 6.5. Norme d'un faisceau inversible 125
      6. 6.6. Application: critères d'amplitude 130
      7. 6.7. Le théorème de Chevalley 135
    7. 7. Critères valuatifs 138
      1. 7.1. Rappels sur les anneaux de valuation 138
      2. 7.2. Critère valuatif de séparation 141
      3. 7.3. Critère valuatif de propreté 143
      4. 7.4. Courbes algébriques et corps de fonctions de dimension 1 148
    8. 8. Schémas éclatés; cônes projetants; fermeture projective 152
      1. 8.1. Préschémas éclatés 152
      2. 8.2. Résultats préliminaries sur la localisation dans les anneaux gradués 157
      3. 8.3. Cônes projetants 162
      4. 8.4. Fermeture projective d'un fibré vectoriel 168
      5. 8.5. Comportments fonctoriels 169
      6. 8.6. Un isomorphisme canonique pour les cônes épointés 171
      7. 8.7. Éclatement des cônes projetants 173
      8. 8.8. Faisceaux amples et contractions 177
      9. 8.9. Le critère d'amplitude de Grauert: énoncé 182
      10. 8.10. Le critère d'amplitude de Grauert: démonstration 184
      11. 8.11. Unicité des contractions 189
      12. 8.12. Faisceaux quasi-cohérents sur les cônes projetants 191
      13. 8.13. Fermeture projective de sous-faisceaux et de sous-schémas fermés 195
      14. 8.14. Compléments sur les faisceaux associés aux \(\mathscr{S}\)-Modules gradués 197
  2. Bibliographie (suite) 205
  3. Index des notations 207
  4. Index Terminologique 209
  5. Errata et addenda (Liste 1) 217

EGA III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie

  1. Chapitre 0. Préliminaires (suite) 5
    1. 8. Foncteurs représentables 5
      1. 8.1. Foncteurs représentables 5
      2. 8.2. Structures algébriques dans les catégories 9
    2. 9. Ensembles constructibles 12
      1. 9.1. Ensembles constructibles 12
      2. 9.2. Ensembles constructibles dans les espaces noethériens 14
      3. 9.3. Fonctions constructibles 16
    3. 10. Compléments sur les modules plats 17
      1. 10.1. Relations entre modules plats et modules libres 17
      2. 10.2. Critères locaux de platitude 18
      3. 10.3. Existence d'extensions plates d'anneaux locaux 20
    4. 11. Compléments d'algèbre homologique 23
      1. 11.1. Rappels sur les suites spectrales 23
      2. 11.2. Rappels sur les suites spectrales 27
      3. 11.3. Les suites spectrales d'un bicomplexe 29
      4. 11.4. Hypercohomologie d'un foncteur par rapport à un complex \(K^\bullet\) 32
      5. 11.5. Passage à la limite inductive dans l'hypercohomologie 35
      6. 11.6. Hyperhomologie d'un foncteur par rapport à un complexe \(K_\bullet\) 39
      7. 11.7. Hyperhomologie d'un foncteur par rapport à un bicomplexe \(K_{\bullet \bullet}\) 41
      8. 11.8. Compléments sur la cohomologie des complexes simpliciaux 43
      9. 11.9. Un lemme sur les complexes de type fini 46
      10. 11.10. Caractéristique d'Euler-Poincaré d'un complexe de modules de longueur finie 48
    5. 12. Compléments sur la cohomologie des faisceaux 49
      1. 12.1. Cohomologie des faisceaux de modules sur les espaces annelés 49
      2. 12.2. Images directes supérieures 57
      3. 12.3. Compléments sur les foncteurs Ext de faisceaux 60
      4. 12.4. Hypercohomologie du foncteur image directe 62
    6. 13. Limites projectives en algèbre homologique 64
      1. 13.1. La condition de Mittag-Leffler 64
      2. 13.2. La condition de Mittag-Leffler pour les groupes abéliens 65
      3. 13.3. Application: cohomologie d'une limite projective de faisceaux 68
      4. 13.4. Condition de Mittag-Leffler et objets gradués associés aux systèmes projectifs 69
      5. 13.5. Limites projectives de suites spectrales de complexes filtrés 71
      6. 13.6. Suite spectrale d'un foncteur relative à un objet muni d'une filtration finie 73
      7. 13.7. Foncteurs dérivés d'une limite projective d'arguments 75
  2. Chapter 3. Étude cohomologique des faisceaux cohérents 81
    1. 1. Cohomologie des schémas affines 82
      1. 1.1. Rappels sur le complexe de l'algèbre extérieure 82
      2. 1.2. Cohomologie de Čech d'un recouvrement ouvert 85
      3. 1.3. Cohomologie d'un schéma affine 88
      4. 1.4. Application à la cohomologie des préschémas quelconques 89
    2. 2. Étude cohomologique des morphismes projectifs 95
      1. 2.1. Calculs explicites de certains groupes de cohomologie 95
      2. 2.2. Le théorème fondamental des morphismes projectifs 100
      3. 2.3. Applciation aux faisceaux gradués d'algèbres et de modules 102
      4. 2.4. Une généralisation du théorème fondamental 107
      5. 2.5. Caractéristique d'Euler-Poincaré et polynôme de Hilbert 109
      6. 2.6. Application: critères d'amplitude 111
    3. 3. Le théorème de finitude pour les morphismes propres 115
      1. 3.1. Le lemme de dévissage 115
      2. 3.2. Le théorème de finitude: cas des schémas usuels 116
      3. 3.3. Généralisation du théorème de finitude (schémas usuels) 118
      4. 3.4. Le théorème de finitude: cas des schémas formels 119
    4. 4. Le théorème fondamental des morphismes propres. Applications 122
      1. 4.1. Le théorème fondamental 122
      2. 4.2. Cas particuliers et variantes 129
      3. 4.3. Le théorème de connexion de Zariski 130
      4. 4.4. Le «main theorem» de Zariski 135
      5. 4.5. Complétés de modules d'homomorphismes 138
      6. 4.6. Relations entre morphismes formels et morphismes usuels 139
      7. 4.7. Un critère d'amplitude 145
      8. 4.8. Morphismes finis de préschémas formels 146
    5. 5. Un théorème d'existence de faisceaux algébriques cohérents 149
      1. 5.1. Énoncé du théorème 149
      2. 5.2. Démonstration du théorème d'existence: cas projectif et quasi-projectif 151
      3. 5.3. Démonstration du théorème d'existence: cas général 154
      4. 5.4. Application: comparaison des morphismes de schémas usuels et de morphismes de schémas formels. Schémas formels algébrisables 156
      5. 5.5. Une décomposition de certains schémas 159
  3. Bibliographie (suite) 161
  4. Index des notations 162
  5. Index terminologique 163

EGA III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Seconde partie

  1. Chapitre III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents (suite) 5
    1. 6. Foncteurs Tor locaux et globaux; formule de Künneth 5
      1. 6.1. Introduction 5
      2. 6.2. Hypercohomologie des complexes de Modules sur un préschéma 6
      3. 6.3. Hypertor de deux complexes de modules 9
      4. 6.4. Foncteurs hypertor locaux de complexes de Modules quasi-cohérentes; cas des schémas affines 14
      5. 6.5. Foncteurs hypertor locaux de complexes de Modules quasi-cohérents: cas général 16
      6. 6.6. Foncteurs hypertor globaux de complexes de Modules quasi-cohérents et suites spectrales de Künneth: cas de la base affine 21
      7. 6.7. Foncteurs hypertor globaux de complexes de Modules quasi-cohérents et suites spectrales de Künneth: cas général 25
      8. 6.8. Les suites spectrales d'associativité des hypertor globaux 32
      9. 6.9. Les suites spectrales de changement de base dans les hypertor globaux 34
      10. 6.10. Structure locale de certains foncteurs cohomologiques 39
    2. 7. Étude du changement de base dans les foncteurs homologiques covariants de Modules 43
      1. 7.1. Foncteurs de A-modules 43
      2. 7.2. Caractérisation du foncteur produit tensoriel 44
      3. 7.3. Critères d'exactitude des foncteurs homologiques de modules 48
      4. 7.4. Critères d'exactitude pour les foncteurs \(H_\bullet(P_\bullet \otimes_A M)\) 53
      5. 7.5. Cas des anneaux locaux noethériens 58
      6. 7.6. Descente des propriétés d'exactitude. Théorème de semi-continuité et critère d'exactitude de Grauert 60
      7. 7.7. Application aux morphismes propres: I. La propriété d'échange 65
      8. 7.8. Application aux morphismes propres: II. Critères de platitude cohomologique 72
      9. 7.9. Application aux morphismes propres: III. Invariance de la caractéristique d'Euler-Poincaré et du polynôme de Hilbert 76

EGA IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie

  1. Chapitre 0. Préliminaires (suite) 5
    1. 14. Dimension combinatoire d'un espace topologique 6
      1. 14.1. Dimension combinatoire d'un espace topologique 6
      2. 14.2. Codimension d'une partie fermée 8
      3. 14.3. La condition des chaînes 10
    2. 15. Suites M-régulières et suites \(\mathscr{F}\)-régulières 12
      1. 15.1. Suites M-régulières et suites M-quasi-régulières 12
      2. 15.2. Suites \(\mathscr{F}\)-régulières 20
    3. 16. Dimension et profondeur dans les anneaux locaux noethériens 22
      1. 16.1. Dimension d'un anneau 22
      2. 16.2. Dimension d'un anneau semi-local noethérien 25
      3. 16.3. Systèmes de paramètres dans un anneau local noethérien 28
      4. 16.4. Profondeur et coprofondeur 32
      5. 16.5. Modules de Cohen-Macaulay 36
    4. 17. Anneaux réguliers 39
      1. 17.1. Définition des anneaux réguliers 39
      2. 17.2. Rappels sur la dimension projective et la dimension injective des modules 42
      3. 17.3. Théorie cohomologique des anneaux réguliers 46
    5. 18. Compléments sur les extensions d'algèbres 51
      1. 18.1. Images réciproques d'anneaux augmentés 51
      2. 18.2. Extensions d'un anneau par un bimodule 54
      3. 18.3. Le groupe des classes de A-extensions 59
      4. 18.4. Extensions d'algèbres 64
      5. 18.5. Cas des anneaux topologiques 66
    6. 19. Algèbres formellement lisses et anneaux de Cohen 69
      1. 19.0. Introduction 69
      2. 19.1. Épimorphismes et monomorphismes formels 71
      3. 19.2. Modules formellement projectifs 78
      4. 19.3. Algébres formellement lisses 79
      5. 19.4. Premiers critères de lissité formelle 86
      6. 19.5. Lissité formelle et anneaux gradués associés 90
      7. 19.6. Cas des algèbres sur un corps 100
      8. 19.7. Cas des homomorphismes locaux: théorèmes d'existence et d'unicité 104
      9. 19.8. Algèbres de Cohen et \(p\)-anneaux de Cohen; application à la structure des anneaux locaux complets 109
      10. 19.9. Algèbres relativement formellement lisses 114
      11. 19.10. Algèbres formellement non ramifiées et algèbres formellement étales 115
    7. 20. Dérivations et différentielles 116
      1. 20.1. Dérivations et extensions d'algèbres 117
      2. 20.2. Propriétés fonctorielles des dérivations 119
      3. 20.3. Dérivations continues dans les anneaux topologiques 121
      4. 20.4. Parties principales et différentielles 123
      5. 20.5. Propriétés fonctorielles fondamentales de \(\Omega_{B/A}^1\) 128
      6. 20.6. Modules d'imperfection et homomorphismes caractéristiques 136
      7. 20.7. Généralisations aux anneaux topologiques 147
    8. 21. Différentielles dans les anneaux de caractéristique \(p\) 153
      1. 21.1. Systèmes de \(p\)-générateurs et \(p\)-bases 154
      2. 21.2. \(p\)-bases et lissité formelle 157
      3. 21.3. \(p\)-bases et modules d'imperfection 160
      4. 21.4. Cas des extensions de corps 162
      5. 21.5. Application: critères de séparabilité 164
      6. 21.6. Corps admissibles pour une extension 167
      7. 21.7. L'égalité de Cartier 169
      8. 21.8. Critères d'admissibilité 171
      9. 21.9. Modules de différentielles complétés dans les anneaux de séries formelles 176
    9. 22. Critères différentiels de lissité formelle et de régularité 182
      1. 22.1. Relèvement de la lissité formelle 183
      2. 22.2. Caractérisation différentielle des algèbres locales formellement lisses sur un corps 186
      3. 22.3. Application aux relations entre certains anneaux locaux et leurs complétés 191
      4. 22.4. Résultats préliminaires sur les extensions finies d'anneaux locaux dont l'idéal maximal est de carré nul 193
      5. 22.5. Algèbres géométriquement régulières et algèbres formellement lisses 201
      6. 22.6. Critère jacobien de Zariski 205
      7. 22.7. Le critère jacobien de Nagata 209
    10. 23. Anneaux japonais 213
      1. 23.1. Anneaux japonais 213
      2. 23.2. Clôture intégrale d'un anneau local noethérien intègre 217
  2. Chapitre IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas 222
    1. 1. Conditions de finitude relatives. Ensembles constructibles dans les préschémas 224
      1. 1.1. Morphismes quasi-compacts 224
      2. 1.2. Morphismes quasi-séparés 226
      3. 1.3. Morphismes localement de type fini 228
      4. 1.4. Morphismes localement de présentation finie 230
      5. 1.5. Morphismes de type fini 233
      6. 1.6. Morphismes de présentation finie 234
      7. 1.7. Amélioration de résultats antérieurs 236
      8. 1.8. Morphismes de présentation finie et ensembles constructibles 238
      9. 1.9. Ensembles pro-constructibles et ind-constructibles 241
      10. 1.10. Applications aux morphismes ouverts 249
  3. Bibliographie (suite) 251
  4. Index des notations 252
  5. Index terminologique 254

EGA IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Seconde partie

  1. Chapitre IV. Étude locale des schémas et des morphismes des schémas (suite) 5
    1. 2. Changement de base et platitude 5
      1. 2.1. Modules plats sur les préschémas 5
      2. 2.2. Modules fidèlement plats sur les préschémas 9
      3. 2.3. Propriétés topologiques des morphismes plats 14
      4. 2.4. Morphismes universellement ouverts et morphismes plats 19
      5. 2.5. Permanence des propriétés des Modules par descente fidèlement plate 22
      6. 2.6. Permanence de propriétés ensemblistes et topologiques de morphismes par descente fidèlement plate 27
      7. 2.7. Permanence de diverses propriétés des mophismes par descente fidélement plate 29
      8. 2.8. Préschémas sur une base régulière de dimension 1; adhérence d'un sous-préschéma fermé de la fibre générique 33
    2. 3. Cycles premiers associés et décompositions primaires 36
      1. 3.1. Cycles premiers associés à un Module 36
      2. 3.2. Décompositions irredondantes 40
      3. 3.3. Relations avec la platitude 43
      4. 3.4. Propriétés des faisceaux \(\mathscr{F}/t\mathscr{F}\) 46
    3. 4. Changement du corps de base dans les préschémas algébriques 52
      1. 4.1. Dimension des préschémas algébriques 52
      2. 4.2. Cycles premiers associés sur les préschémas algébriques 54
      3. 4.3. Rappels sur les produits tensoriels de corps 58
      4. 4.4. Préschémas irréductibles et préschémas connexes sur un corps algébriquement clos 59
      5. 4.5. Préschémas géométriquement irréductibles et géométriquement connexes 61
      6. 4.6. Préschémas algébriques géométriquement réduits 68
      7. 4.7. Multiplicités dans la décomposition primaire sur un préschéma algébrique 75
      8. 4.8. Corps de définition 80
      9. 4.9. Corps de définition d'une partie d'un préschéma 84
    4. 5. Dimension, profondeur, régularité dans les préschémas localement noethérien 86
      1. 5.1. Dimension des préschémas 86
      2. 5.2. Dimension d'un préschéma algébrique 90
      3. 5.3. Dimension du support d'un Module et polynôme de Hilbert 92
      4. 5.4. Dimension de l'image d'un morphisme 93
      5. 5.5. Formule des dimension pour un morphisme de type fini 94
      6. 5.6. Formule des dimensions et anneaux universellement caténaires 97
      7. 5.7. Profondeur et propriété (\(S_k\)) 103
      8. 5.8. Préschémas réguliers et propriété (\(R_k\)). Critère de normalité de Serre 107
      9. 5.9. Modules Z-purs et Z-clos 109
      10. 5.10. Propriété (\(S_2\)) et Z-clôture 114
      11. 5.11. Critères de cohérence pour les Modules \(\mathscr{H}_{X/Z}^0(\mathscr{F})\) 122
      12. 5.12. Relations entre les propriétés d'un anneau local noethérien A et d'un anneau quotient A/tA 126
      13. 5.13. Propriétés de permanence par passage à la limite inductive 131
    5. 6. Morphismes plats de préschémas localement noethériens 134
      1. 6.1. Platitude et dimension 135
      2. 6.2. Platitude et dimension projective 137
      3. 6.3. Platitude et profondeur 138
      4. 6.4. Platitude et propriété (\(S_k\)) 141
      5. 6.5. Platitude et propriété (\(R_k\)) 143
      6. 6.6. Propriétés de trqnsitivité 145
      7. 6.7. Application aux changements de base dans les préschémas algébriques 145
      8. 6.8. Morphismes réguliers, normaux, réduits, lisses 150
      9. 6.9. Le théorème de platitude générique 153
      10. 6.10. Dimension et profondeur d'un Module normalement plat le long d'un sous-préschéma fermé 155
      11. 6.11. Critères pour que les ensembles \(U_{S_n}(\mathscr{F})\) ou \(U_{C_n}(\mathscr{F})\) soient ouverts 158
      12. 6.12. Critères de Nagata pour que Reg(X) soit ouvert 163
      13. 6.13. Critères pour que Nor(X) soit ouvert 168
      14. 6.14. Changement de base et clôture intégrale 169
      15. 6.15. Préschémas géométriquement unibranches 176
    6. 7. Relations entre un anneau local noethérien et son complété. Anneaux excellents 182
      1. 7.1. Équidimensionalité formelle et anneaux formellement caténaires 183
      2. 7.2. Anneaux strictement formellement caténaires 187
      3. 7.3. Fibres formelles des anneaux locaux noethériens 192
      4. 7.4. Permanance des propriétés des fibres formelles 198
      5. 7.5. Un critère pour les \(P\)-morphismes 203
      6. 7.6. Applications: I. Anneaux japonais locaux 208
      7. 7.7. Applications: II. Anneaux universellement japonais 212
      8. 7.8. Anneaux excellents 214
      9. 7.9. Anneaux excellents et résolution des singularités 218
  2. Bibliographie 224
  3. Index des notations 225
  4. Index terminologique 226

EGA IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie

  1. Chapitre IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas 5
    1. 8. Limites projectives de préschémas 5
      1. 8.1. Introduction 5
      2. 8.2. Limites projectives de préschémas 7
      3. 8.3. Parties construcdtibles dans une limite projective de préschémas 12
      4. 8.4. Critères d'irréductibilité et de connexion pour les limites projectives de préschémas 17
      5. 8.5. Modules de présentation finie sur une limite projective de préschémas 19
      6. 8.6. Sous-préschémas de présentation finie d'une limite projective de préschémas 25
      7. 8.7. Critères pour qu'une limite projective de préschémas soit un préschéma réduit (resp. intègre) 27
      8. 8.8. Préschémas de présentation finie sur une limite projective de préschémas 28
      9. 8.9. Premières applications à l'elimination des hypothèses noethériennes 34
      10. 8.10. Propriétés de permanance des morphismes par passage à la limite projective 36
      11. 8.11. Application aux morphismes quasi-finis 41
      12. 8.12. Nouvelle démonstration et généralisation du «Main Theorem» de Zariski 43
      13. 8.13. Traduction en termes de pro-objets 49
      14. 8.14. Caractérisation d'un préschéma localement de présentation finie sur un autre, en termes du foncteur qu'il représente 52
    2. 9. Propriétés constructibles 54
      1. 9.1. Le principe de l'extension finie 54
      2. 9.2. Propriétés constructibles et ind-constructibles 56
      3. 9.3. Propriétés constructibles de morphismes de préschémas algébriques 60
      4. 9.4. Constructibilité de certaines propriétés des Modules 62
      5. 9.5. Constructibilité de propriétés topologiques 67
      6. 9.6. Constructibilité de certaines propriétés des morphismes 71
      7. 9.7. Constructibilité des propriétés de séparabilité, d'irréductibilité géométrique et de connexité géométrique 76
      8. 9.8. Décomposition primaire au voisinage d'une fibre générique 83
      9. 9.9. Constructibilité des propriétés locales des fibres 88
    3. 10. Préschémas de Jacobson 95
      1. 10.1. Parties très denses d'un espace topologique 95
      2. 10.2. Quasi-homéomorphismes 97
      3. 10.3. Espaces de Jacobson 101
      4. 10.4. Préschémas de Jacobson et anneaux de Jacobson 101
      5. 10.5. Préschémas de Jacobson noethériens 104
      6. 10.6. Dimension dans les préschémas de Jacobson 107
      7. 10.7. Exemples et contre-exemples 109
      8. 10.8. Profondeur rectifiée 110
      9. 10.9. Spectres maximaux et ultrapréschémas 112
      10. 10.10. Espaces algébriques de Serre 114
    4. 11. Propriétés topologiques des morphismes plats de présentation finie. Critères de platitude. 116
      1. 11.1. Ensembles de platitude (cas noethérien) 117
      2. 11.2. Platitude d'une limite projective de préschémas 119
      3. 11.3. Application à l'élimination d'hypothèses noethériennes 132
      4. 11.4. Descente de la platitude par des morphismes quelconques: cas d'un préschéma de base artinien 143
      5. 11.5. Descente de la platitude par des morphismes quelconques: cas général 150
      6. 11.6. Descente de la platitude par des morphismes qualconques: cas d'un préschéma de base unibranche 154
      7. 11.7. Contre-exemples 157
      8. 11.8. Un critère valuatif de platitude 159
      9. 11.9. Familles séparantes et universellement séparantes d'homomorphismes de faixceaux de modules 160
      10. 11.10. Familles schématiquement dominantes de morphismes et familles schématiquement denses de sous-préschémas 170
    5. 12. Étude des fibres des morphismes plats de présentation finie 173
      1. 12.0. Introduction 173
      2. 12.1. Propriétés locales des fibres d'un morphisme plat localement de présentation finie 174
      3. 12.2. Propriétés locales et globales des fibres d'un morphisme propre, plat et de présentation finie 179
      4. 12.3. Propriétés cohomologiques locales des fibres d'un morphisme plat et localement de présentation finie 183
    6. 13. Morphismes équidimensionnels 187
      1. 13.1. Le théorème de semi-continuité de Chevalley 188
      2. 13.2. Morphismes équidimensionnels: cas des morphismes dominants de préschémas irréductibles 190
      3. 13.3. Morphismes équidimensionnels: cas général 194
    7. 14. Morphismes universellement ouverts 199
      1. 14.1. Morphismes ouverts 200
      2. 14.2. Morphismes ouverts et formule des dimensions 202
      3. 14.3. Morphismes universellement ouverts 204
      4. 14.4. Le critère de Chevalley pour les morphismes universellement ouverts 209
      5. 14.5. Morphismes universellement ouverts et quasi-sections 216
    8. 15. Étude des fibres d'un morphisme universellement ouvert 223
      1. 15.1. Multiplicités des fibres d'un morphisme universellement ouvert 223
      2. 15.2. Platitude des morphismes universellement ouverts à fibres géométriquement réduites 226
      3. 15.3. Application: critères de réduction et d'irréductibilité 228
      4. 15.4. Compléments sur les morphismes de Cohen-Macaulay 229
      5. 15.5. Rang séparable des fibres d'un morphisme quasi-fini et universellement ouvert. Application aux composantes connexes géométriques des fibres d'un morphisme propre 231
      6. 15.6. Composantes connexes des fibres le long d'une section 236
      7. 15.7. Appendice: Critères valuatifs de propreté locale 242
  2. Bibliographie (suite) 249
  3. Index des notations 250
  4. Index terminologique 251

EGA IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie

  1. Chapitre IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas 5
    1. 16. Invariants différentiels. Morphismes différentiellement lisses 5
      1. 16.1. Invariants normaux d'une immersion 5
      2. 16.2. Propriétés fonctorielles des invariants normaux d'une immersion 9
      3. 16.3. Invariants différentiels fondamentaux d'un morphisme de préschémas 14
      4. 16.4. Propriétés fonctorielles des invariants différentiels 16
      5. 16.5. Faisceaux et fibrés tangents relatifs; dérivations 27
      6. 16.6. Faisceaux de \(p\)-différentielles et différentielle extérieure 34
      7. 16.7. Les \(\mathscr{P}_{X/S}^n(\mathscr{F})\) 36
      8. 16.8. Opérateurs différentiels 39
      9. 16.9. Immersions régulières et quasi-régulières 46
      10. 16.10. Morphismes différentiellement lisses 51
      11. 16.11. Opéreateurs différentiels sur un S-préschéma différentiellement lisse 53
      12. 16.12. Cas de la caractéristique nulle: critère jacobien pour les morphismes différentiellement lisses 55
    2. 17. Morphismes lisses, morphismes non ramifiés, morphismes étales 56
      1. 17.1. Morphismes formellement lisses, morphismes formellement non ramifiés, morphismes formellement étales 56
      2. 17.2. Propriétés différentielles générales 59
      3. 17.3. Morphismes lisses, morphismes non ramifiés, morphismes étales 61
      4. 17.4. Caractérisations des morphismes non ramifiés 65
      5. 17.5. Caractérisations des morphismes lisses 67
      6. 17.6. Caractérisations des morphismes étales 70
      7. 17.7. Propriétés de descente et de passage à la limite 72
      8. 17.8. Critères de lissité et de non ramifiication par fibres 79
      9. 17.9. Morphismes étales et immersions ouvertes 79
      10. 17.10. Dimension relative d'un préschéma lisse sur un autre 81
      11. 17.11. Morphismes lisses de préschémas lisses 82
      12. 17.12. Sous-préschémas lisses d'un préschéma lisse. Morphismes lisses et morphismes différentiellement lisses 85
      13. 17.13. Morphismes transversaux 89
      14. 17.14. Caractérisations locales et infinitésimales des morphismes lisses, des morphismes non ramifiés et des morphismes étales 98
      15. 17.15. Cas des préschémas sur un corps de base 99
      16. 17.16. Quasi-sections de morphismes plats ou lisses 105
    3. 18. Compléments sur les morphismes étales. Anneaux locaux henséliens et anneaux strictement locaux 109
      1. 18.1. Une équivalence remarquable de catégories 109
      2. 18.2. Revêtements étales 111
      3. 18.3. Algèbres finies et étales 114
      4. 18.4. Structure locale des morphismes non ramifiés et des morphismes étales 118
      5. 18.5. Anneaux locaux henséliens 125
      6. 18.6. Hensélisation 135
      7. 18.7. Hensélisation et anneaux excellents 142
      8. 18.8. Anneaux strictment locaux et hensélisation stricte 144
      9. 18.9. Fibres formelles des anneaux noethériens henséliens 150
      10. 18.10. Préschémas étales sur un préschéma géométriquement unibranche ou normal 157
      11. 18.11. Application aux algèbres locales noethériennes complètes sur un corps 169
      12. 18.12. Applications de la localisation étale aux morphismes quasi-finis (généralisations de résultats antérieurs) 181
    4. 19. Immersions régulières et platitude normale 185
      1. 19.1. Propriétés des immersions régulières 185
      2. 19.2. Immersions transversalement régulières 190
      3. 19.3. Intersections complètes relatives (cas plat) 194
      4. 19.4. Application: critères de régularité et de lissité pour les préschémas éclatés 198
      5. 19.5. Critères de M-régularité 204
      6. 19.6. Suites régulières relativement à un module filtré quotient 209
      7. 19.7. Critère de platitude normale de Hironaka 212
      8. 19.8. Propriétés de passage à la limite projective 219
      9. 19.9. Suites \(\mathscr{F}\)-régulières et profondeur 222
    5. 20. Fonctions méromorphes et pseudo-morphismes 223
      1. 20.0. Introduction 223
      2. 20.1. Fonctions méromorphes 224
      3. 20.2. Pseudo-morphismes et pseudo-fonctions 231
      4. 20.3. Composition des pseudo-morphismes 237
      5. 20.4. Propriétés des domaines de définition des fonctions rationnelles 244
      6. 20.5. Pseudo-morphismes relatifs 249
      7. 20.6. Fonctions méromorphes relatives 252
    6. 21. Diviseurs 255
      1. 21.1. Diviseurs sur un espace annelé 255
      2. 21.2. Diviseurs et Idéaux fractionnaires inversibles 258
      3. 21.3. Équivalence linéaire des diviseurs 263
      4. 21.4. Images réciproquers de diviseurs 265
      5. 21.5. Images directes de diviseurs 267
      6. 21.6. Cycle 1-codimensionnel associé à un diviseur 270
      7. 21.7. Interprétation des cycles positifs 1-codimensionnels en termes de sous-préschémas 277
      8. 21.8. Diviseurs et normalisation 280
      9. 21.9. Diviseurs sur les préschémas de dimension 1 284
      10. 21.10. Images réciproques et images directes de cycles 1-codimensionnels 289
      11. 21.11. Factorialité des anneaux réguliers 302
      12. 21.12. Le théorème de pureté de Van der Waerden pour l'ensemble de ramification d'un morphisme birationnel 304
      13. 21.13. Couples parafactoriels. Anneaux locaux parafactoriels 313
      14. 21.14. Le théorème de Ramanujam—Samuel 323
      15. 21.15. Diviseurs relatifs 329
  2. Bibliographie 333
  3. Index des notations 334
  4. Index terminologique 336