SGA 1. Revêtements Étales et Groupe Fondamental

  1. I. Morphismes étales 1
    1. 1. Notions de calcul différentiel 1
    2. 2. Morphismes quasi-finis 1
    3. 3. Morphismes non ramifiées ou nets 2
    4. 4. Morphismes étales. Revêtements étales 3
    5. 5. La propriété fondamentale des morphismes étales 5
    6. 6. Application aux extensions étales des anneaux locaux complets 8
    7. 7. Construction locale des morphismes non ramifiés et étales 8
    8. 8. Relèvement infinitésimal des schémas étales. Application aux schémas formels 11
    9. 9. Propriétés de permanence 13
    10. 10. Revètements étales d'un schéma normal 17
    11. 11. Quelques compléments 21
  2. II. Morphismes lisses: généralités, propriétés différentielles 25
    1. 1. Généralités 25
    2. 2. Quelques critères de lissité d'un morphisme 27
    3. 3. Propriétés de permanence 29
    4. 4. Propriétés différentielles des morphismes lisses 30
    5. 5. Cas d'un corps de base 43
  3. III. Morphismes lisses: propriétés de prolongement 49
    1. 1. Homomorphismes formellement lisses 49
    2. 2. Propriété de relèvement caractéristique des homomorphismes formellement lisses 53
    3. 3. Prolongement infinitésimal local des morphismes dans un \(S\)-schéma lisse 56
    4. 4. Prolongement infinitésimal local des \(S\)-schémas lisses 58
    5. 5. Prolongement infinitésimal global des morphismes 59
    6. 6. Prolongement infinitésimal global des \(S\)-schémas lisses 64
    7. 7. Application à la construction de schémas formels et de schémas ordinaires lisses sur un anneau local complet \(A\) 68
  4. IV. Morphismes plats 71
    1. 1. Sorites sur les modules plats 72
    2. 2. Modules fidèlement plats 74
    3. 3. Relations avec la complétion 76
    4. 4. Relations avec les modules libres 76
    5. 5. Critères locaux de platitude 78
    6. 6. Morphismes plats et ensembles ouverts 82
  5. V. Le groupe fondamental: généralités 87
    1. 0. Introduction 87
    2. 1. Préschéma à groupe fini d'opérateurs, préschéma quotient 87
    3. 2. Groupes de décomposition de d'inertie. Cas étale 92
    4. 3. Automorphismes et morphismes de revètements étales 96
    5. 4. Conditions axiomatiques d'une théorie de Galois 98
    6. 5. Catégories galoisiennes 104
    7. 6. Foncteurs exacts d'une catégorie galoisienne dans une autre 110
    8. 7. Cas des préschémas 115
    9. 8. Cas d'un préschéma de base normale 117
    10. 9. Cas des préschémas non connexes: catégories multigaloisiennes 118
  6. VI. Catégories fibrées et descente 119
    1. 0. Introduction 119
    2. 1. Univers, catégories, équivalence de catégories 120
    3. 2. Catégories sur une autre 121
    4. 3. Changement de base dans les catégories sur \(\mathscr{E}\) 124
    5. 4. Catégories-fibres; équivalence de \(\mathscr{E}\)-catégories 128
    6. 5. Morphismes cartésiens, images inverses, foncteurs cartésiens 130
    7. 6. Catégories fibrées et catégories préfibrées. Produits et changement de base dans icelles 132
    8. 7. Catégories clivées sur \(\mathscr{E}\) 136
    9. 8. Catégorie clivée définie par un pseudo-foncteur \(\mathscr{E}^\circ \to \mathbf{Cat}\) 139
    10. 9. Exemple: catégorie clivée définie par un foncteur \(\mathscr{E}^\circ \to \mathbf{Cat}\); catégories scindées sur \(\mathscr{E}\) 142
    11. 10. Catégories co-fibrées, catégories bi-fibrées 143
    12. 11. Exemples divers 144
    13. 12. Foncteurs sur une catégorie clivée 148
    14. 13. Bibliographie 151
  7. VII: n'existe pas 153
  8. VIII. Descente fidèlement plate 153
    1. 1. Descente des Modules quasi-cohérents 153
    2. 2. Descente des préschémas affines sur un autre 158
    3. 3. Descente de propriétés ensemblistes et de propriétés de finitude de morphismes 158
    4. 4. Descente de propriétés topologiques 160
    5. 5. Descente de morphismes de préschémas 163
    6. 6. Application aux morphismes finis et quasi-finis 168
    7. 7. Critères d'effectivité pour une donnée de descente 170
    8. 8. Bibliographie 175
  9. IX. Descente des morphismes étales. Application au groupe fondamental 177
    1. 1. Rappels sur les morphismes étales 177
    2. 2. Morphismes submersifs et universellement submersifs 179
    3. 3. Descente de morphismes de préschémas étales 181
    4. 4. Descente de préschémas étales: critères d'effectivité 182
    5. 5. Traduction en termes du groupe fondamental 187
    6. 6. Une suite exacte fondamentale. Descente par morphismes à fibres relativement connexes 195
    7. 7. Bibliographie 199
  10. X. Théorie de la spécialisation du groupe fondamental 201
    1. 1. La suite exacte d'homotopie pour un morphisme propre et séparable 201
    2. 2. Application du théorème d'existence de faisceaux: théorème de semi-continuité pour les groupes fondamentaux des fibres d'un morphisme propre et séparable 206
    3. 3. Application du théorème de pureté: théorème de continuité pour les groupes fondamentaux des fibres d'un morphisme proper et lisse 212
    4. 4. Bibligraphie 217
  11. XI. Exemples et compléments 219
    1. 1. Espaces projectifs, variétés unirationnelles 219
    2. 2. Variétés abéliennes 221
    3. 3. Cônes projetants, exemple de Zariski 223
    4. 4. La suite exacte de cohomologie 225
    5. 5. Cas particuliers de fibrés principaux 230
    6. 6. Application aux revêtements principaux: théories de Kummer et d'Artin–Schreier 233
    7. 7. Bibliographie 238
  12. XII. Géométrie algébrique et géométrie analytique 239
    1. 1. Espace analytique associé à un schéma 239
    2. 2. Comparaison des propriétés d'un schéma et de l'espace analytique associé 242
    3. 3. Comparaison des propriétés des morphismes 244
    4. 4. Théorèmes de comparaison cohomologique et théorèmes d'existence 247
    5. 5. Théorèmes de comparaison des revêtements étales 251
    6. 6. Bibliographie 256
  13. XIII. Propreté cohomologique des faisceaux d'ensembles et des faisceaux de groupes non commutatifs 259
    1. 0. Rappels sur la théorie des champs 259
    2. 1. Propreté cohomologique 260
    3. 2. Un cas particulier de propreté cohomologique: diviseurs à croisements normaux relatifs 275
    4. 3. Propreté cohomologique et locale acyclicité générique 293
    5. 4. Suites exactes d'homotopie 305
    6. 5. Appendice I: Variations sur le lemme d'Abhyankar 314
    7. 6. Appendice II: théorème de finitude pour les images directes des champs 320
    8. 7. Bibliographie 322
  14. Index terminologique 323
  15. Index des notations 327

SGA 2. Cohomologie Locale des Faisceaux Cohérents et Théorèmes de Lefschetz Locaux et Globaux

  1. Introduction 1
  2. Exposé I: Les Invariants Cohomologiques Globaux et Locaux Relatifs à un Sous-espace Fermé 6
    1. 1. Les foncteurs \(\Gamma_Z\), \(\underline{\Gamma}_Z\) 6
    2. 2. Les foncteurs \(H_Z^*(X, f)\) et \(\textbf{H}^*_Z(F)\). 13
  3. Exposé II: Application aux Faisceaux Quasi-Cohérents sur les Préschémas 19
  4. Exposé III: Invariants cohomologiques et profondeur 27
    1. 1. Rappels 27
    2. 2. Profondeur 28
    3. 3. Profondeur et propriétés topologiques 34
  5. Exposé IV: Modules et Foncteurs Dualisants 43
    1. 1. Généralités sur les foncteurs de modules 43
    2. 2. Caractérisation des foncteurs exacts 47
    3. 3. Etude du cas où T est exact à gauche et T(M) de type fini pour tout M 48
    4. 4. Module dualisant. Foncteur dualisant 51
    5. 5. Conséquences de la théorie des moduels dualisants 56
  6. Exposé V: Dualité Locale et Structure des \(H^i(M)\) 61
    1. 1. Complexes d'homomorphismes 61
    2. 2. Le théorème de dualité locale pour un anneau local régulier 64
    3. 3. Application à la structure des \(H^i(M)\) 65
  7. Exposé VI: Les foncteurs \(\text{Ext}_Z^\bullet(X; F, G)\) et \(\underline{\text{Ext}}_Z^\bullet(F, G)\) 72
    1. 1. Généralités 72
    2. 2. Application aux faisceaux quasi-cohérents sur les préschèmas 75
  8. Exposé VII: Critères de Nullité, Conditions de Coherence des Faisceaux \(\underline{\text{Ext}}_Y^i(F, G)\) 77
    1. 1. Etude pour \(i < n\) 77
    2. 2. Etude pour \(i \geq n\) 82
  9. Exposé VIII: Le Théorème de Finitude 84
    1. 1. Une suite spectrale de bidualité 84
    2. 2. Le théorème de finitude 89
    3. 3. Applications 96
  10. Exposé IX: Géometrie Algébrique et Géometrie Formelle 99
    1. 1. Le théorème de comparaison 99
    2. 2. Théorème d'existence 107
  11. Exposé X: Application au Groupe Fondamental 111
    1. 1. Comparaison de \(\mathbf{Et}(\widehat{X})\) et de \(\textbf{Et}(Y)\) 111
    2. 2. Comparaison de \(\textbf{Et}(Y)\) et \(\textbf{Et}(U)\), pour \(U\) variable 112
    3. 3. Comparaison de \(\pi_1(X)\) et de \(\pi_1(U)\) 117
  12. Exposé XI: Application au Groupe de Picard 124
    1. 1. Commparison de \(Pic(\widehat{X})\) et de \(Pic(Y)\) 124
    2. 2. Comparaison de \(Pic(X)\) et \(Pic(\widehat{X})\) 125
    3. 3. Comparaison de \(\mathbf{P}(X)\) et de \(\mathbf{P}(U)\) 126
  13. Exposé XII: Application aux Schémas Algébriques Projectifs 136
    1. 1. Théorème de dualité projective et théorème de finitude 136
    2. 2. Théorie de Lefschetz pour un morphisme projectif: théorème de comparaison de Grauert 143
    3. 3. Théorie de Lefschetz pour un morphisme projectif: théorème d'existence 147
    4. 4. Complétion formelle et platitude normale 154
    5. 5. Conditions de finitude universelles pour un morphisme non propre 164
  14. Exposé XIII: Problèmes et Conjectures 172
    1. 1. Relations entre résultats globaux et locaux. Problèmes affines liés à la dualité 172
    2. 2. Problèmes liés au \(\pi_0\): théorèmes de Bertini locaux 176
    3. 3. Problèmes liés au \(\pi_1\) 181
    4. 4. Problèmes liés aux \(\pi_i\) supérieurs: théorèmes de Lefschetz locaux et globaux pour les espaces analytiques complexes 183
    5. 5. Problèmes liés aux groupes de Picard locaux 189
    6. 6. Commentaires 194
  15. Exposé XIV: Profondeur et Théorèmes de Lefschetz en Cohomologie Étale, par Mme. M. Raynaud 203
    1. 1. Profondeur cohomologique et homotopique 204
    2. 2. Lemmes techniques 234
    3. 3. Réciproque du théorème de Lefschetz affine 241
    4. 4. Théorème principal et variantes 253
    5. 5. Profondeur géométrique 274
    6. 6. Questions ouvertes 280
  16. Index des notations 285
  17. Index terminologique 286

SGA 3. Schémas en Groupes, Vol. 1: Propriétés Générales des Schémas en Groupes

  1. Exposé I. Structures Algébriques. Cohomologie des Groupes, par M. Demazure 1
    1. 1. Généralités 1
    2. 2. Structures algébriques 13
    3. 3. La catégorie des \(\mathscr{O}\)-modules, la catégorie des \(G\)-\(\mathscr{O}\)-modules 20
    4. 4. Structures algébriques dans la catégorie des préschémas 22
      1. 4.1. Préschémas constants 23
      2. 4.2. S-groupes affines 23
      3. 4.3. Les groupes \(\mathbf{G}_a\) et \(\mathbf{G}_m\). L'anneau \(\mathscr{O}\) 25
      4. 4.4. Les groupes diagonalisables 26
      5. 4.5. Autres exemples de groupes 29
      6. 4.6. Foncteurs modules dans la catégorie des préschémas 29
      7. 4.7. La catégorie des \(G\)-\(\mathscr{O}_S\)-Modules 33
    5. 5. Cohomologie des groupes 37
  2. Exposé II. Fibrés Tangents. Algèbres de Lie, par M. Demazure 43
    1. 1. Les foncteurs \(\mathbf{Hom}_{Z/S}(X, Y)\) 43
    2. 2. Les préschémas \(I_S(M)\) 45
    3. 3. Le fibré tangent, la condition (E) 48
    4. 4. Espace tangent à un groupe. Algèbres de Lie 59
    5. 5. Calcul de quelques algèbres de Lie 74
      1. 5.1. Exemples d'algèbres de Lie: les groupes diagonlisables 74
      2. 5.2. Normalisateurs et centralisateurs 75
      3. 5.3. Représentations linéaires 79
    6. 6. Remarques diverses 80
  3. Exposé III. Extensions Infinitesimales, par M. Demazure 83
    1. 0. Rappels de SGA 1 III. Remarques diverses 85
    2. 1. Extensions et cohomologie 100
    3. 2. Extensions infinitésimales d'un morphisme de préschémas en groupes 112
    4. 3. Extensions infinitésimales d'un préschéma en groupes 121
    5. 4. Extensions infinitésimales de sous-groupes fermés 127
  4. Exposé IV. Topologies et Faisceaux, par M. Demazure 159
    1. 1. Epimorphismes effectifs universels 160
    2. 2. Morphismes de descente 166
    3. 3. Relations d'équivalence effectives universelles 171
      1. 3.1. Relations d'équivalence: définitions 171
      2. 3.2. Relation d'équivalence définie par un groupe opérant librement 175
      3. 3.3. Relations d'équivalence effectives universelles 178
      4. 3.4. (M)-effectivité 180
      5. 3.5. Construction de quotients par descente 183
    4. 4. Topologies et faisceaux 185
      1. 4.1. Cribles 185
      2. 4.2. Topologies: définitions 188
      3. 4.3. Préfaisceaux, faisceaux, faisceau associé à un préfaisceau 194
      4. 4.4. Propriété d'exactitude de la catégorie des faisceaux 204
      5. 4.5. Le cas d'une topologie moins fine que la topologie canonique 211
      6. 4.6. Description du quotient d'un faisceau par une relation d'équivalence 218
      7. 4.7. Utilisation de critères d'effectivité: théorème d'isomorphie 226
    5. 5. Passage au quotient et structures algébriques 228
      1. 5.1. Fibrés principaux homogènes 228
      2. 5.2. Structures de groupes et passage au quotient 232
      3. 5.3. Utilisation de critères d'effectivité: théorème de Noether 237
    6. 6. Topologies dans la catégorie des schémas 237
      1. 6.1. La topologie de Zariski 238
      2. 6.2. Un procédé de construction de topologies 238
      3. 6.3. Application à la catégorie des schémas 238
      4. 6.4. Conditions d'effectivité 247
      5. 6.5. Fibrés principaux homogènes 248
      6. 6.6. Autres topologies 248
  5. Exposé V. Construction de Préschémas, par P. Gabriel 250
    1. 1. \(C\)-groupoïdes 250
    2. 2. Exemples de \(C\)-groupoïdes 254
    3. 3. Quelques sorites sur les \(C\)-groupoïdes 256
    4. 4. Passage au quotient par une prérelation d'équivalence finie et plate 261
    5. 5. Passage au quotient par une relation d'équivalence finie et plate 266
    6. 6. Passage au quotient lorsqu'il existe une quasi-section 270
    7. 7. Quotient par une prérelation d'équivalence propre et plate 275
    8. 8. Passage au quotient par une prérelation d'équivalence plate et non nécessairement propre 280
    9. 9. Elimination des hypothèses noethériennes 283
  6. Exposé VI.A. Généralités sur les Groupes Algébriques, par P. Gabriel 286
    1. 0. Remarques préliminaires 286
    2. 1. Propriétés locales d'un A-groupe localement de type fini 290
    3. 2. Composantes connexes d'un A-groupe localement de type fini 294
    4. 3. Construction de groupes-quotient (case des groupes de type fini) 299
    5. 4. Construction de groupes-quotient (cas général) 305
    6. 5. Compléments 311
  7. Exposé VI.B. Généralités sur les Préschémas en Groupes, par J.E. Bertin 316
    1. 1. Morphismes de groupes localement de type fini sur un corps 316
    2. 2. "Propriétés ouvertes" des groupes et des morphismes de groupes localement de présentation finie 325
    3. 3. Composante neutre d'un groupe localement de présentation finie 337
    4. 4. Dimension des fibres des groupes localement de présentation finie 344
    5. 5. Séparation des groupes et espaces homogènes 348
    6. 6. Sous-foncteurs et sous-préschémas en groupes 354
    7. 7. Sous-groupes engendrés; groupe des commutateurs 359
    8. 8. Préschémas en groupes résolubles et nilpotents 371
    9. 9. Faisceaux quotients 376
    10. 10. Passage à la limite projective dans les préschémas en groupes et les préschémas à groupe d'opérateurs 382
    11. 11. Préschémas en groupes affines 393
  8. Exposé VII. Étude Infinitésimale des Schémas en Groupes, par P. Gabriel 409
    1. A. Opérateurs différentiels et \(p\)-Algèbres de Lie 409
      1. 1. Opérateurs différentiels 409
      2. 2. Opérateurs différentiels invariants sur les préschémas en groupes 416
      3. 3. Coalgèbres et dualité de Cartier 423
      4. 4. "Frobeniuseries" 431
      5. 5. \(p\)-Algèbres de Lie 442
      6. 6. \(p\)-Algèbres de Lie d'un S-préschéma en groupes 451
      7. 7. Groupes radiciels de hauteur 1 458
      8. 8. Cas d'un corps de base 467
    2. B. Groupes formels 474
      1. 0. Rappels sur les anneaux et modules pseduocompacts 474
      2. 1. Variétés formelles sur un anneau pseudocompact 489
      3. 2. Généralités sur les groupes formels 509
      4. 3. Phénomènes particuliers à la caractéristique 0 528
      5. 4. Phénomènes particuliers à la caractéristique \(p > 0\) 538
      6. 5. Espaces homogènes de groupes formels infinitésimaux sur un corps 548
  9. Index des notations 561

SGA 3. Schémas en Groupes, Vol. 2: Groupes de Type Multiplicatif, et Structure des Schémas en Groupes Généraux

  1. Exposé VIII. Groupes Diagonalisables, par A. Grothendieck 1
    1. 1. Bidualité 1
    2. 2. Propriétés schématiques des groupes diagonalisables 6
    3. 3. Propriétés d'exactitude du foncteurs \(D_S\) 7
    4. 4. Torseurs sous un groupe diagonalisable 11
    5. 5. Quotient d'un schéma affine par un groupe diagonalisable opérant librement 15
    6. 6. Morphismes essentiellement libres, et représentabilité de certains foncteurs de la forme \(\prod_{Y/S} Z/Y\) 20
    7. 7. Appendice: sur les monomorphismes de préschémas en groupes 25
  2. Exposé IX. Groupes de Type Multiplicatif: Homomorphismes dans un Schéma en Groupes, par A. Grothendieck 37
    1. 1. Définitions 37
    2. 2. Extension de certaines propriétés des groupes diagonalisables aux groupes de type multiplicatif 40
    3. 3. Propriétés infinitésimales: théorème de relèvement et de conjugaison 46
    4. 4. Le théorème de densité 50
    5. 5. Homomorphismes centraux des groupes de type multiplicatif 58
    6. 6. Monomorphismes des groupes de type multiplicatif et factorisation canonique d'un homomorphisme d'un tel groupe 63
    7. 7. Algébricité des homomorphismes formels dans un groupe affine 68
    8. 8. Sous-groupes, groupes quotients et extensions de groupes de type multiplicatif sur un corps 74
  3. Exposé X. Caractérisation et Classification des Groupes de Type Multiplicatif, par A. Grothendieck 77
    1. 1. Classification des groupes isotriviaux: Cas d'un corps de base 77
    2. 2. Variations de structure infinitésimales 81
    3. 3. Variations de structures finies: anneau de base complet 86
    4. 4. Cas d'une base quelconque. Théorème de quasi-isotrivialité 92
    5. 5. Schéma des homomorphismes d'un groupe de type multiplicatif dans un autre. Groupes constants tordus et groupes de type multiplicatif 98
    6. 6. Revêtements principaux galoisiens infinis et groupe fondamental élargi 106
    7. 7. Classification des préschémas constants tordus et des groupes de type multiplicatif de type fini en termes du groupe fondamental élargi 112
    8. 8. Appendice: élimination de certaines hypothèse affines 116
  4. Exposé XI. Critères de Représentabilité. Application aux Sous-groupes de Type Multiplicatif des Schémas en Groupes Affines 127
    1. 0. Introduction 127
    2. 1. Rappels sur les morphismes lisses, étales, non ramifiés 128
    3. 2. Exemples de foncteurs formellement lisses tirés de la théorie des groupes de type multiplicatif 137
    4. 3. Résultats auxiliaires de représentabilité 141
    5. 4. Le schéma des sous-groupes de type multiplicatif d'un groupe lisse affine 157
    6. 5. Premiers corollaires du théorème de représentabilité 164
    7. 6. Sur une propriété de rigidité pour les homomorphismes de certains schémas en groupes, et la représentabilité de certains transporteurs 171
  5. Exposé XII. Tores Maximaux, Groupe de Weyl, Sous-groupe de Cartan, Centre Reductif des Schémas en Groupes Lisses et Affines, par A. Grothendieck 180
    1. 1. Tores maximaux 181
    2. 2. Le groupe de Weyl 191
    3. 3. Sous-groupes de Cartan 196
    4. 4. Le centre réductif 198
    5. 5. Application au schéma des sous-groupes de type multiplicatif 210
    6. 6. Tores maximaux et sous-groupes de Cartan des groupes algébriques non nécessairement affines (corps de base algébriquement clos) 216
    7. 7. Application aux préschémas en groupes lisses non nécessairement affines 224
    8. 8. Eléments semi-simples, réunion et intersection des tores maximaux dans les schémas en groupes non nécessairement affines 239
  6. Exposé XIII. Éléments Réguliers des Groupes Algébriques et des Algèbres de Lie, par A. Grothendieck 249
    1. 1. Un lemma auxiliaire sur les variétés à opérateurs 249
    2. 2. Théorème de densité et théorie des points réguliers de G 253
    3. 3. Cas d'un préschéma de base quelconque 269
    4. 4. Algèbres de Lie sur un corps: rang, éléments réguliers, sous-algèbres de Cartan 276
    5. 5. Cas de l'algèbre de Lie d'un groupe algébrique lisse: théorème de densité 283
    6. 6. Sous-algèbres de Cartan et sous-groupe de type (C), relatifs à un groupe algébrique lisse 291
  7. Exposé XIV. Éléments Réguliers: Suite. Applications aux Groupes Algebriques, par A. Grothendieck, Appendice par J.P. Serre 296
    1. 1. Construction de sous-groupes de Cartan et de tores maximaux pour un groupe algébrique lisse 296
    2. 2. Algèbres de Lie sur un préschéma quelconque: sections régulières et sous-algèbres de Cartan 299
    3. 3. Sous-groupe de type (C) des préschémas en groupes sur un préschéma quelconque 312
    4. 4. Une digression sur les sous-groupes de Borel 323
    5. 5. Relations entre sous-groupes de Cartan et sous-algèbres de Cartan 330
    6. 6. Applications à la structure des groupes algébriques 334
    7. 7. Appendice: Existence d'éléments réguliers sur les corps finis 342
  8. Exposé XV. Compléments sur les Sous-tores d'un Préschéma en Groupes. Application aux Groupes Lisses, par M. Raynaud 349
    1. 0. Introduction 349
    2. 1. Relèvement des sous-groupes finis 350
    3. 2. Relèvement infinitésimal des sous-tores 357
      1. 2.1. Enoncé du théorème 357
      2. 2.2. Démonstration de 2.1. 362
    4. 3. Caractérisation d'un sous-tore par son ensemble sous-jacent 374
      1. 1. Enoncé du théorème 374
      2. 2. Démonstration des assertions "faciles" contenues dans 3.1. 377
      3. 3. Suite de la démonstration de 3.1. 380
    5. 4. Caractérisation d'un sous-tore T par les sous-groupes \({}_n T\) 398
      1. 1. Enoncé du théorème principal 398
      2. 2. Applicadtion 400
    6. 5. Représentabilité du foncteur: sous-groupes lisses identiques à leur normalisateur connexe 409
    7. 6. Foncteur des sous-groupes de Cartan et foncteur des sous-groupes paraboliques 422
    8. 7. Sous-groupes de Cartan d'un groupe lisse 445
    9. 8. Critère de représentabilité du foncteur des sous-tores d'un groupe lisse 459
  9. Exposé XVI. Groupes de Rang Unipotent Nul, par M. Raynaud 484
    1. 1. Un critère d'immersion 484
    2. 2. Un théorème de représentabilité des quotients 503
    3. 3. Groupes à centre plat 510
    4. 4. Groupes à fibres affines, de rang unipotent nul 520
    5. 5. Application aux groupes réductifs et semi-simples 524
    6. 6. Applications: Extension de certaines propriétés de rigidité des tores aux groupes de rang unipotent nul 527
  10. Exposé XVII. Groupes Algébriques Unipotents. Extensions entre Groupes Unipotents et Groupes de Type Multiplicatif, par M. Raynaud 532
    1. 0. Quelques notations 532
    2. 1. Définition des groupes algébriques unipotents 534
    3. 2. Premières propriétés des groupes unipotents 538
    4. 3. Groupes unipotents opérant sur un espace vectoriel 543
    5. 4. Une caractérisation des groupes unipotents 557
      1. 4.1. Groupes algébriques lisses, connexes et affines 557
      2. 4.2. Groupes radiciels 562
      3. 4.3. Groupes affines connexes en caractéristique \(p > 0\) 565
      4. 4.4. Groupes étales 569
      5. 4.5. Variétés abéliennes 570
      6. 4.6. Cas général 570
    6. 5. Extension d'un groupe de type multiplicatif par un groupe unipotent 573
      1. 5.1. Enoncé du théorème 573
      2. 5.2. Démonstration de 5.1.1. (i) et (ii) dans le cas U lisse et H étale 575
      3. 5.3. Etude du cas H lisse 580
      4. 5.4. Etude du cas U radiciel 582
      5. 5.5. Démonstration de 5.1.1(i) 583
      6. 5.6. 586
      7. 5.7. Démonstration de 5.1.1.(ii)(b) 588
      8. 5.8. Fin de la démonstration de 5.1.1.(i) 593
      9. 5.9. Contre-exemples 597
    7. 6. Extension d'un groupe unipotent par un groupe de type multiplicatif 602
      1. 6.1. Enoncé du théorème 602
      2. 6.2. Démonstration de 6.1.1.(A) 602
      3. 6.3. Démonstration de 6.1.1.(B) and (C) 607
      4. 6.4. Exemples d'extensions d'un groupe unipotent U par un groupe de type multiplicatif H qui ne sont pas triviales 608
    8. 7. Groupes algébriques affines nilpotents 611
      1. 7.1. Extensions de groupes de type multiplicatif 611
      2. 7.2. Structure des groupes algébriques affines commutatifs 613
      3. 7.3. Structure des groupes algébriques affines nilpotents 615
    9. Appndice I. Cohomologie de Hochschild et extensions de groupes algébriques 618
      1. 1. Définition des groupes de cohomologie 618
      2. 2. Le groupe \(\text{Ext}_{\text{alg}}(G, A)\) 619
      3. 3. Comparaison de \(H^2(G, A)\) et de \(\text{Ext}_{\text{alg}}(G, A)\) 621
    10. Appendice II. Rappels et comléments sur les groupes radiciels 623
      1. 1. Le morphisme de Frobenius 623
      2. 2. Groupes et \(p\)-algèbres de Lie 624
      3. 3. Groupes radiciels et groupes lisses 625
    11. Appendice III. Remarques et compléments pour les exposés XV, XVI, XVII. 627
  11. Exposé XVIII. Théorème de Weil sur la Construction d'un Groupe à partir d'une Loi Rationnelle, par M. Artin 632
    1. 0. Introduction 632
    2. 1. "Rappels" sur les applications rationnelles 633
    3. 2. Détermination locale d'un morphisme de groupes 635
    4. 3. Construction d'un groupe à partir d'une loi rationnelle 639
  12. Index des notations 654

SGA 3. Schémas en Groupes, Vol. 3: Structures des Schémas en Groupes Réductifs

  1. Exposé XIX. Groupes Réductifs. Généralités, par M. Demazure 1
    1. 1. Rappels sur les groupes sur un corps algébriquement clos 2
    2. 2. Schémas en groupes réductifs. Définition et premières propriétés 11
    3. 3. Racines et sysèmes de racines des schémas en groupes réductifs 16
    4. 4. Racines et schémas en groupes vectoriels 20
    5. 5. Un exemple instructif 26
    6. 6. Existence locale des tores maximaux. Le groupe de Weyl 31
  2. Exposé XX. Groupes Réductifs de Rang Semi-simple 1, par M. Demazure 35
    1. 1. Systèmes élémentaires. Les groupes \(P_r\) et \(P_{-r}\) 35
    2. 2. Structure des systèmes élémentaires 47
    3. 3. Le groupe de Weyl 60
    4. 4. Le théorème d'isomorphisme 71
    5. 5. Exemples de systèmes élémentaires, applications 73
    6. 6. Générateurs et relations pour un système élémentaire 80
  3. Exposé XXI. Donnees Radicielles, par M. Demazure 85
    1. 1. Généralités 85
      1. 1.1. Définitions, premières propriétés 85
      2. 1.2. L'application \(p\) 89
    2. 2. Relations entre deux racines 92
      1. 2.1. Racines proportionnelles 92
      2. 2.2. Racines orthogonales 94
      3. 2.3. Cas général 95
    3. 3. Racines simples, racines positives 97
      1. 3.1. Systèmes de racines simples 97
      2. 3.2. Systèmes de racines positives 101
      3. 3.3. Caractérisation et conjugaison des systèmes de racines positives 106
      4. 3.4. Ensembles de racines clos et symétriques 108
      5. 3.5. Remarques diverses 112
      6. 3.6. Chambres de Weyl 114
    4. 4. Données radicielles réduites de rang semi-simple 2 117
    5. 5. LE groupe de Weyl: générateurs et relations 121
    6. 6. Morphismes de données radicielles 127
      1. 6.1. Définition 127
      2. 6.2. Isogénies 128
      3. 6.3. Radical et coradiacl 130
      4. 6.4. Produits de données radicielles 131
      5. 6.5. Données radicielles induites et coinduites 133
      6. 6.6. Poids 137
      7. 6.7. Automorphismes 140
      8. 6.8. \(p\)-morphismes de données radicielles réduites 142
    7. 7. Structure 144
      1. 7.1. Décomposition d'une donnée radicielle 144
      2. 7.2. Propriétés des données radicielles irréductibles 147
      3. 7.3. Matrice de Cartan 149
      4. 7.4. Diagramme de Dynkin 151
      5. 7.5. Compléments sur les \(p\)-morphismes 153
  4. Exposé XXII. Groupes Réductifs: Déploiements, Sous-groupes, Groupes-quotients, par M. Demazure 156
    1. 1. Racines et coracines. Groupes déployés et données radicielles 156
    2. 2. Existence d'un déploiement. Type d'un groupe réductif 165
    3. 3. Le groupe de Weyl 168
    4. 4. Homomorphismes de groupes déployés 171
      1. 4.1. La "grosse cellule" 171
      2. 4.2. Morphismes de groupes déployés 177
      3. 4.3. Quotients centraux de groupes réductifs 183
    5. 5. Sous-groupes de type (R) 187
      1. 5.1. Groupes de type (RR) 187
      2. 5.2. Sous-groupes de type (R) 191
      3. 5.3. Transporteur strict de deux sous-groupes de type (R). Applications 194
      4. 5.4. Sous-groupes de type (R) d'un groupe réductif déployé (généralités) 200
      5. 5.5. Sous-groupes de Borel d'un groupe réductif déployé 204
      6. 5.6. Sous-groupes de type (R) à fibres résolubles 212
      7. 5.7. Théorème de Bruhat 221
      8. 5.8. Schémas associés à un groupe réductif 228
      9. 5.9. Propriétés particulières aux groupes de Borel 234
      10. 5.10. Sous-groupes de type (R) à fibres réductives 241
      11. 5.11. Sous-groupes de type (RC) 245
    6. 6. Le groupe dérivé 251
      1. 6.1. Préliminaries 251
      2. 6.2. Groupe dérivé d'un groupe réductif 256
      3. 6.3. Sous-groupes à quotients commutatifs 261
  5. Exposé XXIII. Groupes Réductifs: Uniticité des Groupes Épinglés, par M. Demazure 263
    1. 1. Epinglages 263
    2. 2. Générateurs et relations pour un groupe épinglé 271
    3. 3. Groupes de rang semi-simple 2 285
      1. 3.1. Généralité 285
      2. 3.2. Groupes de Type \(A_2\) 287
      3. 3.3. Groupes de type \(B_2\) 291
      4. 3.4. Groupes de type \(G_2\) 295
      5. 3.5. Forme explicite du théorème de générateurs et relations 302
    4. 4. Unicité des groupes épinglés: théorème fondamental 305
    5. 5. Corollaires du théorème fondamental 313
    6. 6. Systèmes de Chevalley 318
  6. Exposé XXIV. Automorphismes des Groupes Réductifs, par M. Demazure 323
    1. 1. Schéma des automorphismes d'un groupe réductif 324
    2. 2. Automorphisms et sous-groupes 337
    3. 3. Schéma de Dynkin d'un groupe réductif. Groupes quasi-déployés 344
    4. 4. Isotrivialité des groupes réductifs et des fibrés principaux sous les groupes réductifs 359
      1. 4.1. Définitions. Théorème d'isotrivialité 359
      2. 4.2. Démonstration: le cas semi-simple 361
      3. 4.3. Démonstration: cas général 364
      4. 4.4. Utilisation de l'existence de tores maximaux 366
    5. 5. Décomposition canonique d'un groupe adjoint ou simple connexe 370
    6. 6. Automorphismes des groupes de Borel des groupes réductifs 378
    7. 7. Représentabilité des foncteurs \(\mathbf{Hom}_{S-gr}(G, H)\), G réductif 383
      1. 7.1. Le cas déployé 383
      2. 7.2. Cas général 390
      3. 7.3. Phénomènes particuliers à la caractéristique 0 392
      4. 7.4. Un exemple 397
    8. 8. Appendice: cohomologie d'un groupe lisse sur un anneau hensélien, cohomologie et foncteur \(\Pi\) 401
  7. Exposé XXV. Le Théorème d'Existence, par M. Demazure 410
    1. 1. Enoncé du théorème 410
    2. 2. Théorème d'existence: construction d'un morceau de groupe 412
    3. 3. Théorème d'existence: fin de la démonstration 421
    4. 4. Appendice 424
  8. Exposé XXVI. Sous-groupes Paraboliques des Groupes Réductifs 426
    1. 1. Rappels, sous-groupes de Levi 426
    2. 2. Structure du radical unipotent d'un sous-groupe parabolique 436
    3. 3. Schéma des sous-groupes paraboliques d'un groupe réductif 443
    4. 4. Position relative de deux groupes paraboliques 453
      1. 4.1. Un résultat préliminaire 453
      2. 4.2. Position transverasle 454
      3. 4.3. Sous-groupes paraboliques opposés 464
      4. 4.4. Position osculatrice 470
      5. 4.5. Position standard 474
    5. 5. Théorème de conjugaison 479
    6. 6. Sous-groupe paraboliques et tores triviaux 494
    7. 7. Donnée radicielle relative 503
  9. Index des notations 518
  10. Index terminologique (pour les tomes I, II, III) 520

SGA 4. Théorie des Topos et Cohomologie Étale des Schémas, Tome 1

  1. Exposé I. Préfaisceaux, par A. Grothendieck et J.L. Verdier 1
    1. 0. Univers 1
    2. 1. U-catégories. Préfaisceaux d'ensembles 4
    3. 2. Limites projectives et inductives 9
    4. 3. Propriétés d'exactitude de la catégorie des préfaisceaux 18
    5. 4. Cribles 20
    6. 5. Fonctorialité des catégories de préfaisceaux 22
    7. 6. Foncteurs fidèles et foncteurs conservatifs 38
    8. 7. Sous-catégories génératrices et cogénératrices 45
    9. 8. Ind-objets et pro-objets 61
      1. 8.1. Foncteurs cofinaux et sous-catégories cofinales 61
      2. 8.2. Ind-objets et foncteurs ind-représentables 67
      3. 8.3. Caractérisation des foncteurs ind-représentables 74
      4. 8.4. Ind-objets constants, essentiellement constants 79
      5. 8.5. Limites inductives filtrantes dans Ind(C) 80
      6. 8.6. Extension d'un foncteur aux ind-objets 83
      7. 8.7. Le foncteur \(\varinjlim_C:\) Ind(C) \(\to\) C. Caractérisations universelles de la catégorie Ind(C) 88
      8. 8.8. Représentation indicielle d'un foncteur J \(\to\) Ind(C) 100
      9. 8.9. Propriétés d'exactitude de Ind(C) 108
      10. 8.10. Notions duales: pro-objets, foncteurs pro-représentables 119
      11. 8.11. Ind-adjoints et pro-adjoints 123
      12. 8.12. Ind-objets et pro-objets stricts. Application à un critère de représentabilité 127
      13. 8.13. Foncteurs pro-représentables et foncteurs accessibles 136
    10. 9. Foncteurs accessibles, filtrations cardinales et construction de petites sous-catégories génératrices 138
    11. 10. Glossaire 179
    12. Appendice: Univers (par N. Bourbaki) 185
  2. Exposé II. Topologies et Faisceaux, par J.L. Verdier 219
    1. 1. Topologies, Familles couvrantes, Prétologies 219
    2. 2. Faisceaux d'ensembles 223
    3. 3. Faisceau associé à un préfaisceau 228
    4. 4. Propriétés d'exactitude de la catégorie des faisceaux 235
    5. 5. Extension d'une topologie de \(C\) à \(C^{\wedge}\) 251
    6. 6. Faisceaux à valeurs dan une catégorie 257
  3. Exposé III. Fonctorialité des Categories de Faisceaux, par J.L. Verdier 265
    1. 1. Foncteurs continus 265
    2. 2. Foncteurs cocotinus 278
    3. 3. Topologie induite 283
    4. 4. Lemme de comparaison 288
    5. 5. Localisation 293
  4. Exposé IV. Topos, par A. Grothdneick et J.L. Verdier 299
    1. 0. Introduction 299
    2. 1. Définition et caractérisation des topos 302
    3. 2. Exemples de topos 311
      1. 2.1. Topos associé à un espace topologique 311
      2. 2.2. Topos punctuel ou final, et topos vide ou initial 313
      3. 2.3. Topos associé à un espace à opérateurs 314
      4. 2.4. Topos classifiant d'un Groupe 315
      5. 2.5. "Gros site" et "Gros topos" d'un espace topologique. Topos classificnt d'un groupe topologique 316
      6. 2.6. Topos de la forme \(\widehat{C}\) 318
      7. 2.7. Topos classifiant d'un pro-groupe 319
      8. 2.8. Exemple d'un faux topos 322
    4. 3. Morphismes de topos 323
    5. 4. Exemples de morphismes de topos 332
      1. 4.1. Le topos Top(X) pour un espace topologique X variable 333
      2. 4.2. Propriété de fidélité de X \(\mapsto\) Top(X) 336
      3. 4.3. Morphismes dans le topos final: objets constants d'un topos; foncteurs sections 339
      4. 4.4. Morphismes du "topos vide" 342
      5. 4.5. Le topos classifiant \(B_G\) pour \(G\) groupe variable 343
      6. 4.6. Le topos \(\widetilde{C}\) pour \(C\) catégorie variable 346
      7. 4.7. Le topos \(\widetilde{C}\) pour un site \(C\) variable (foncteurs cocontinus) 350
      8. 4.8. Le morphisme de topos \(\widetilde{C} \to \widehat{C}\) pour un site \(C\) 353
      9. 4.9. Effet d'un foncteur continu de sites. Morphismes de sites 354
      10. 4.10. Relations entre le petit et le gros topos associés à un espace topologique \(X\) 358
    6. 5. Topos induit 365
    7. 6. Points d'un topos et foncteurs fibres 384
    8. 7. Exemples de foncteurs fibres et de points de topos 402
      1. 7.1. Cas de Top(X) pour un espace topologique X 402
      2. 7.2. Points d'un topos classifiant \(B_G\) 407
      3. 7.3. Points des topos \(\widehat{C}\), exemples de \(U\)-topos \(\widehat{C}\) dont la catégorie des points ne soit pas équivalente à une petite categorie 411
      4. 7.4. Topos non vides sans points 412
      5. 7.5. Catégories Karoubiennes et morphismes de topos (exercice) 413
      6. 7.6. Morphismes essentiels de topos, points essentiels (exercice) 414
      7. 7.7. Points inhabituels d'un topos classificiant (exercice) 417
      8. 7.8. Topologie sur Point(E), et topos associés aux ensembles ordonnés (exercice) 417
    9. 8. Localisation. Ouverts d'un topos 420
    10. 9. Sous-topos et recollement de topos 431
    11. 10. Faisceaux de morphismes 491
    12. 11. Topos annelés, localisation dans les topos annelés 496
    13. 12. Opérations sur les modules 501
    14. 13. Morphismes de topos annelés 508
    15. 14. Modules sur un topos défini par recollement 515
  5. Index terminologique 520
  6. Index notations 524

SGA 4. Théorie des Topos et Cohomologie Étale des Schémas, Tome 2

  1. Exposé V. Cohomologie dans les topos, par J.-L. Verdier 1
  2. Exposé V (bis). Techniques de descente cohomologique, par B. Saint-Donat 83
  3. Exposé VI. Conditions de finitude. Topos et Site fibrés. Applications aux questions de passage à la limite, par A. Grothendieck et J.-L. Verdier 163
  4. Exposé VII. Site et Topos étales d'un schéma, par A. Grothendieck 341
  5. Exposé VIII. Foncteurs fibres, supports, étude cohomologique des morphismes finis, par A. Grothendieck 366
  6. Index terminologique 413
  7. Index des notations 417

SGA 4. Théorie des Topos et Cohomologie Étale des Schémas, Tome 3

  1. Exposé IX. Faisceaux constructibles. Cohomologie d'un courbe algèbrique, par M. Artin 1
  2. Exposé X. Dimension cohomologique: premiers résultats, par M. Artin 43
  3. Exposé XI. Comparaison avec la cohomologie classique: cas d'un préschéma lisse, par M. Artin 64
  4. Exposé XII. Théorème de changement de base pour un morphisme propre, par M. Artin 79
  5. Exposé XIII. Théorème de changement de base pour un morphisme propre: fin de la démonstration, par M. Artin 132
  6. Exposé XIV. Théorèmes de finitude pour un morphisme propre; dimension cohomologique des schémas algébriques affines, par M. Artin 145
  7. Exposé XV. Morphismes acycliques, par M. Artin 168
  8. Exposé XVI. Théorème de changement de base par un morphisme lisse, et applications, par M. Artin 206
  9. Exposé XVII. Cohomologie à supports propres, par P. Deligne 250
    1. Appendice par B. Saint-Donat 462
  10. Exposé XVIII. La formule de dualité globale, par P. Deligne 481
  11. Exposé XIX. Cohomologie des préschémas excellents d'égales caractéristiques, par M. Artin 588
  12. Index des notations 639
  13. Index terminologique 640

SGA 4.5. Cohomologie Étale

  1. Un fil d'Ariane pour SGA 4, SGA 4\(\frac{1}{2}\), et SGA 5 1
  2. Cohomologie étale: les points de départ, rédige par J. F. Boutot. [Arcata] 4
  3. Rapport sur la formule des traces, [Rapport] 76
  4. Fonctions \(L\) modulo \(\ell^n\) et modulo \(p\), [Fonction \(L\) mod \(\ell^n\)] 110
  5. La classe de cohomologie associée à un cycle, par A. Grothendieck, rédigé par P. Deligne, [Cycle] 129
  6. Dualité, [Dualité] 154
  7. Applications de la formule des traces aux sommes trigonométriques 168
  8. Théorème de finitude en cohomologie \(\ell\)-adique avec un appendice par L. Illusie, [Th. finitude] 233
  9. Catégories dérivées, état 0, par J.L. Verdier, [C.D.] 262
  10. Erratum pour SGA 4 312

SGA 5. Cohomologie l-adique et Fonctions L

  1. Exposé I. Complexes dualisants par A. Grothendieck, rédigé par L. Illusie 1
  2. Exposé III. Formule de Lefschetz par A. Grothendieck, rédigé par L. Illusie 73
  3. Exposé III B. Calculs de termes locaux par L. Illusie 138
  4. Exposé V. Systèmes projectifs J-adiques par J.-P. Jouanolou 204
  5. Exposé VI. Cohomologie \(\ell\)-adique par J.-P. Jouanolou 251
  6. Exposé VII. Cohomologie de quelques schémas classiques et théorie cohomologique des classes de Chern par J.-P. Jouanolou 282
  7. Exposé VIII. Groupes de classes des catégories abéliennes et triangulées, complexes parfaits par A. Grothendieck, rédigé par I. Bucur 351
  8. Exposé X. Formule d'Euler–Poincaré en cohomologie étale par A. Grothendieck, rédigé par I. Bucur 372

SGA 6. Théorie des intersections et Théorème de Riemann–Roch

  1. Exposé 0. 1
    1. Esquisse d'un Programme pour une Théorie des Intersections sur les Schémas Généraux par A. Grothendieck 1
    2. Classes de Faisceaux et Théorème de Riemann–Roch par A. Grothendieck 20
  2. Exposé 1. Généralités sur les Conditions de Finitude dans les Catégories Dérivées par L. Illusie 78
  3. Exposé II. Existence de Résolutions Globales par L. Illusie 160
  4. Exposé III. Conditions de Finitude Relatives 222
  5. Exposé IV. Groupes de Grothendieck des Topos Annelés 274
  6. Exposé V. Généralités sur les \(\lambda\)-Anneaux 297
  7. Exposé VI. Le \(K^\bullet\) d'un Fibre Projectif: Calculs et Conséquences par P. Berthelot 365
  8. Exposé VII. Immersions Régulières et Calcul du \(K^\bullet\) d'un Schéma Eclaté par P. Berthelot 416
  9. Exposé VIII. Le Théorème de Riemann–Roch par P. Berthelot 416
  10. Exposé IX. Quelques Calculs de Groupes \(K_\bullet\) 466
  11. Exposé X. Formalisme des Intersections sur les Schémas Algébriques Propres par O. Jussila 519
    1. Appendice: Spécialisation en Théorie des Intersections par A. Grothendieck 560
  12. Exposé XI. Non rédigé 595
  13. Exposé XII. Un Théorème de Représentabilité Relative sur le Foncteur de Picard par M. Raynaud (rédigé par S. Kleiman) 595
  14. Exposé XIII. Les Théorèmes de Finitude pour le Foncteur de Picard par S. Kleiman 616
  15. Exposé XIV. Problèmes Ouverts en Théorie des Intersections par A. Grothendieck 667
  16. Index Terminologique 691
  17. Index des Notations 696

SGA 7. Groupes de Monodromie en Géométrie Algébrique, Vol. 1

  1. Exposé I. Résume des premiers exposés de A. Grothendieck rédigé par P. Deligne 1
  2. Exposé II. Propriétés de finitude du groupe fondamental par Michèle Raynaud 25
  3. Exposé VI. Formal deformation theory by D.S. Rim. 32
  4. Exposé VII. Biextension de faisceaux de groupes par A. Grothendieck 133
  5. Exposé VIII. Compléments sur les biextensions. Propriétés générales des biextensions des schémas en groupes par A. Grothendieck 218
  6. Exposé IX. Modèles de Néron et monodromie par A. Grothendieck 313

SGA 7. Groupes de Monodromie en Géométrie Algébrique, Vol. 2

  1. Exposé X. Intersections sur les surfaces régulières par P. Deligne 1
  2. Exposé XI. Cohomologie des intersetions complètes par P. Deligne 39
  3. Exposé XII. Quadriques par P. Deligne 62
  4. Exposé XIII. Le formalisme des cycles évanescents par P. Deligne 82
  5. Exposé XIV. Comparaison avec la théorie transcendante par P. Deligne 116
  6. Exposé XV. La formule de Picard-Lefschetz par P. Deligne 165
  7. Exposé XVI. La formule de Milnor par P. Deligne 197
  8. Exposé XVII. Pinceaux de Lefscehtz: théorème d'existence par N. Katz 212
  9. Exposé XVIII. Étude cohomologique des pinceaux de Lefschetz par N. Katz 254
  10. Exposé XIX. Le théorème de Noether par P. Deligne 328
  11. Exposé XX. Le théorème de Griffiths par N. Katz 341
  12. Exposé XXI. Le niveau de la cohomologie des intersections complètes par N. Katz 365
  13. Exposé XXII. Une formule de congruence pour la fonction par N. Katz 401